Question

Prove that $\frac{\cos 4x+\cos 3x+\cos 2x}{\sin 4x+\sin 3x+\sin 2x}=\cot 3x$

Answer 1

$\frac{\cos 4x+\cos 3x+\cos 2x}{\sin 4x+\sin 3x+\sin 2x}=\cot 3x$

$L.H.S=\frac{\cos 4x+\cos 3x+\cos 2x}{\sin 4x+\sin 3x+\sin 2x}=\frac{(\cos 4x+\cos 2x)+\cos 3x}{(\sin 4x+\sin 2x)+\sin 3x}$
$\sin A+\sin B=2\sin \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
$\cos A+\cos B=2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$
$=\frac{2\cos \left(\frac{4x+2x}{2}\right)\cos \left(\frac{4x-2x}{2}\right)+\cos 3x}{2\sin \left(\frac{4x+2x}{2}\right)\cos \left(\frac{4x-2x}{2}\right)+\sin 3x}$
$=\frac{2\cos 3x\cos x+\cos 3x}{2\sin 3x\cos x+\sin 3x}$
$=\frac{2\cos 3x(2\cos x+1)}{2\sin 3x(2\cos x+1)}=\cot 3x$
$\Rightarrow L.H.S=R.H.S$
Hence Proved.