Question

Prove that $\frac{\sin 5x-2\sin 3x+\sin x}{\cos 5x-\cos x}=\tan x$

Answer 1

$L.H.S=\frac{\sin 5x-2\sin 3x+\sin x}{\cos 5x-\cos x}$

$\sin A+\sin B=2\sin \frac{A+B}{2}\cos \frac{A-B}{2}$

$\cos A-\cos B=2\sin \frac{A+B}{2}\sin \frac{A-B}{2}$

$=\frac{\sin \frac{5x+x}{2}\cos \frac{5x-x}{2}-2\sin 3x}{-2\sin \frac{5x+x}{2}\sin \frac{5x-x}{2}}$


$=\frac{2\sin \frac{6x}{2}\cos \frac{4x}{2}-2\sin 3x}{-2\sin \frac{6x}{2}\sin \frac{4x}{2}}$

$=\frac{2\sin 3x\cos 2x-2\sin 3x}{-2\sin 3x\sin 2x}$

$L.H.S=\frac{\sin 5x-2\sin 3x+\sin x}{\cos 5x-\cos x}$

$=\frac{2\sin 3x\cos 2x-2\sin 3x}{-2\sin 3x\sin 2x}$

$\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$

$\sin 2x=2\sin x\cos x$

$=\frac{2\sin 3x(\cos 2x-1)}{2\sin x\cos x}$

$=\frac{(\cos 2x-1)}{-\sin 2x}=\frac{-2{\sin }^{2}x}{-2\sin x\cos x}=\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x=R.H.S$

Hence Proved