Question

Prove that:

(i) $se{c}^2\theta +cose{c}^2\theta =se{c}^2\theta cose{c}^2\theta$

(ii) $ta{n}^2\theta -si{n}^2\theta =ta{n}^2\theta si{n}^2\theta$

(iii) $ta{n}^2\theta +co{t}^2\theta +2=se{c}^2\theta cose{c}^2\theta$

Answer 1

$\left(i\right)se{c}^2\theta +cose{c}^2\theta$

$=\frac{1}{co{s}^2\theta }+\frac{1}{si{n}^2\theta }=\frac{si{n}^2\theta +co{s}^2\theta }{co{s}^2\theta si{n}^2\theta }$

$=\frac{1}{co{s}^2\theta si{n}^2\theta }$ $[\because si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1]$

$=se{c}^2\theta cose{c}^2\theta$

$\therefore$ LHS = RHS


$\left(ii\right)ta{n}^2\theta -si{n}^2\theta$

$=\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }-si{n}^2\theta =\frac{si{n}^2\theta -si{n}^2\theta co{s}^2\theta }{co{s}^2\theta }$

$=\frac{si{n}^2\theta (1-co{s}^2\theta )}{co{s}^2\theta }=\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }.si{n}^2\theta$

$=ta{n}^2\theta si{n}^2\theta$

$\therefore$ LHS = RHS


$\left(iii\right)ta{n}^2\theta +co{t}^2\theta +2$

$=(1+ta{n}^2\theta )+(1+co{t}^2\theta )=se{c}^2\theta +cose{c}^2\theta$

$=\frac{1}{co{s}^2\theta }+\frac{1}{si{n}^2\theta }=\frac{si{n}^2\theta +co{s}^2\theta }{co{s}^2\theta si{n}^2\theta }$

$=\frac{1}{co{s}^2\theta si{n}^2\theta }=se{c}^2\theta cose{c}^2\theta$

$\therefore$ LHS = RHS