Question

Prove that if the sum of the digits of any number is divisible by 9, then the number itself is divisible by 9.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Dear}\mathrm{Student}, \\ \mathrm{Suppose}\mathrm{X}\mathrm{is}\mathrm{any}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Suppose},{\mathrm{a}}_0,{\mathrm{a}}_1,{\mathrm{a}}_2,{\mathrm{a}}_3,.........{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{digits}\mathrm{of}\mathrm{X}. \\ \mathrm{So},\mathrm{X}=({\mathrm{a}}_0+10\times {\mathrm{a}}_1+{10}^2\times {\mathrm{a}}_2+........+{10}^{\mathrm{n}}\times {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}) \\ \mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{digits}; \\ \Rightarrow \mathrm{S}={\mathrm{a}}_0+{\mathrm{a}}_1+{\mathrm{a}}_2+{\mathrm{a}}_3+.........+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}} \\ \mathrm{And}\mathrm{we}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{S}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}9. \\ \mathrm{Now}, \\ \mathrm{X}-\mathrm{S}=({\mathrm{a}}_0-{\mathrm{a}}_0)+(10\times {\mathrm{a}}_1-{\mathrm{a}}_1)+({10}^2\times {\mathrm{a}}_2-{\mathrm{a}}_2)+........+({10}^{\mathrm{n}}\times {\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}-{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}) \\ \Rightarrow \mathrm{X}-\mathrm{S}={\mathrm{a}}_1(10-1)+{\mathrm{a}}_2({10}^2-1)+......+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}({10}^{\mathrm{n}}-1) \\ \mathrm{Now},\mathrm{let}{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}={10}^{\mathrm{k}}-1 \\ \mathrm{then}, \\ {\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}=9......9(9\mathrm{occurs}\mathrm{k}\mathrm{times}) \\ \Rightarrow {\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}=9(1...1) \\ \mathrm{Therefore}{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}9. \\ \mathrm{So}, \\ \Rightarrow \mathrm{X}-\mathrm{S}={\mathrm{a}}_1{\mathrm{b}}_1+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{b}}_2+......+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}} \\ \mathrm{Because}{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}9.\mathrm{So},{\mathrm{a}}_{\mathrm{k}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{k}}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{divisible}\mathrm{by}9 \\ \mathrm{and}, \\ \mathrm{S}\mathrm{is}\mathrm{already}\mathrm{divisible}\mathrm{by}9. \\ \Rightarrow \mathrm{X}=({\mathrm{a}}_1{\mathrm{b}}_1+{\mathrm{a}}_2{\mathrm{b}}_2+......+{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}{\mathrm{b}}_{\mathrm{n}})+\mathrm{S} \\ \mathrm{Here}\mathrm{X}\mathrm{is}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{two}\mathrm{numbers}\mathrm{which}\mathrm{are}\mathrm{divisible}\mathrm{by}9. \\ \mathrm{Therefore}\mathrm{X}\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{divisible}\mathrm{by}9. \\ \mathrm{Regards}. \end{gathered}$$