Question

Prove that : $\left(\cos ecA-\sin A\right)\left(\sec A-\cos A\right)=\frac{1}{\tan A+\cot A}$

Answer 1

Give$(cosA-sinA)(secA-CosA)=\frac{1}{tanA+cotA}$

L.H.S.(coscA sinA)(secA-cosA)

$\Rightarrow L.H.S=(\frac{1}{sinA}-sinA)(\frac{1}{cosA}-cosA)$

$\Rightarrow L.H.S=\left(\frac{1-si{n}^{2}A}{sinA}\right)\left(\frac{1-co{s}^{2}A}{cosA}\right)$

$\Rightarrow L.H.S=\frac{co{s}^{2}A.si{n}^{2}A}{sina.cosA}[\because si{n}^{2}A+co{s}^{2}A-1co{s}^{2}A-1-si{n}^{2}Asi{n}^{2}A=1-co{s}^{2}A]$

$\Rightarrow L.H.S=\frac{sinA.cosA}{1}$

$\Rightarrow L.H.S=\frac{sinA.cosA}{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}$

$\Rightarrow L.H.S=\frac{1}{\frac{si{n}^{2}A+co{s}^{2}A}{sinA.cosA}}$

$\Rightarrow L.H.S=\frac{1}{\frac{si{n}^{2}A}{sinAcosA}+\frac{co{s}^{2}A}{sinA.cosA}}$

$\Rightarrow L.H.S=\frac{1}{\frac{sinA}{cosA}+\frac{cosA}{sinA}}$

$\Rightarrow L.H.S=\frac{1}{tanA+cotA}$

=R.H.S

$\Rightarrow$L.H.S = R.H.S