Question

Prove that $\mathrm{cosA}\cos 2A\cos 4A\cos 8A=\frac{\sin 16A}{16\mathrm{sinA}}$

Answer 1

$R.H.S.$

$\frac{\sin 16A}{16\sin A}$

$=\frac{\sin 2\left(8A\right)}{16\sin A}$

$=\frac{2\sin 8A\cos 8A}{16\sin A}$

$=\frac{2\sin 2\left(4A\right)\cos 8A}{16\sin A}$

$=\frac{2\times 2\sin 4Acos4Acos8A}{16\sin A}$

$=\frac{4\sin 2\left(2A\right)\cos 4A\cos 8A}{16\sin A}$

$=\frac{4\times 2\sin 2A\cos 2A\cos 4A\cos 8A}{16\sin A}$

$=\frac{8\sin 2A\cos 2A\cos 4A\cos 8A}{16\sin A}$

$=\frac{8\times 2\mathrm{sinAcosA}\cos 2A\cos 4A\cos 8A}{16\sin A}$

$=\frac{16\mathrm{sinAcosA}\cos 2A\cos 4A\cos 8A}{16\sin A}$

$=\cos A\cos 2A\cos 4A\cos 8A$

$L.H.S.$