Prove that: $sin x sin y sin (x - y) + sin y sin z sin (y - z) + sin z sin x sin (z - x) + sin (x - y) sin (y - z) sin (z - x) = 0$ .

Open in App

Solution

Combining the $1$ st two and last two terms, we get
L.H.S. $sin y [sin x sin (x - y) + sin z sin (y - z)] + sin (z - x) [sin z sin x + sin (x - y) sin (y - z)]$
$= \frac{1}{2} sin y [cos y - cos (2 x - y) + cos (2 z - y) - cos y] + \frac{1}{2} sin (z - x) [cos (z - x) - cos (z + x) + cos (x - 2 y + z) - cos (x - z)]$

$= \frac{1}{2} sin y [cos (2 z - y) - c o s (2 x - y)] + \frac{1}{2} sin (z - x) [cos (x - 2 y + z) - cos (z + x)]$

$= \frac{1}{2} sin y [2 sin (z + x y) sin (x - z)] + \frac{1}{2} sin (z - x) [2 sin (z + x - y) sin y] = 0$
$[∵ sin (x - z) = - sin (z - x)]$ .

Suggest Corrections

Similar questions

∣ ∣ ∣ ∣ ∣ \begin{matrix} c o s (x - y) & c o s (y - z) & c o s (z - x) c o s (x + y) & c o s (y + z) & c o s (z + x) s i n (x + y) & s i n (y + z) & s i n (z + x) \end{matrix} ∣ ∣ ∣ ∣ ∣

y [x c o s (\frac{y}{x}) + y s i n (\frac{y}{x})] d x - x [y s i n (\frac{y}{x}) - x c o s (\frac{y}{x})] d y = 0

D, E

B C

A B C

B D = D E = E C,

∠ B A D = x, ∠ D A E = y, ∠ E A C = z

\frac{sin (x + y) sin (y + z)}{sin x sin z}

x e^{\frac{y}{x}} - y s i n (\frac{y}{x}) + x \frac{d y}{d x} s i n (\frac{y}{x}) = 0,

cos (y - z) + cos (z - x) + cos (x - y) = - \frac{3}{2}

cos x cos y cos z = 0

sin x

sin y + sin z

Join BYJU'S Learning Program