Question

Prove that:
${\tan }^{-1}\frac{1}{4}+{\tan }^{-1}\frac{2}{9}=\frac{1}{2}{\tan }^{-1}\frac{4}{3}$

Answer 1

L.H.S $=ta{n}^{-1}\frac{1}{4}+ta{n}^{-1}\frac{2}{9}$

using $ta{n}^{-1}x+ta{n}^{-1}y=ta{n}^{-1}\frac{x+y}{1-xy},xy<1$

$=ta{n}^{-1}(\frac{\frac{1}{4}+\frac{2}{9}}{1-\frac{1}{4}\times \frac{2}{9}})$

$=ta{n}^{-1}\frac{17}{36}\times \frac{36}{34}$

$=ta{n}^{-1}\frac{1}{2}$

using $2ta{n}^{-1}x=ta{n}^{-1}\frac{2x}{1-x^2}$ $⟹ta{n}^{-1}x=\frac{1}{2}ta{n}^{-1}\frac{2x}{1-x^2}$

$=\frac{1}{2}ta{n}^{-1}\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-(\frac{1}{2}{)}^2}$

$=\frac{1}{2}ta{n}^{-1}\frac{4}{3}$

$=$ R.H.S