Question

Prove that :-
${\tan }^{-1}\sqrt{x}=\frac{1}{2}{\cos }^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right),x\in [0,1]$

Answer 1

Taking R.H.S

$\frac{1}{2}co{s}^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)$

putting $x.ta{n}^2\theta$

$=\frac{1}{2}co{s}^{-1}\left(\frac{1-ta{n}^2\theta }{1+ta{n}^2\theta }\right)$

$=\frac{1}{2}\left(\frac{1-\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }}{1+\frac{si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }}\right)$

$=\frac{1}{2}co{s}^{-1}\left(\frac{\frac{co{s}^2\theta -si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }}{\frac{co{s}^2\theta +si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }}\right)$

$=\frac{1}{2}co{s}^{-1}(\frac{co{s}^2\theta -si{n}^2\theta }{co{s}^2\theta }\times \frac{co{s}^2\theta }{si{n}^2\theta +co{s}^2\theta })$

$=\frac{1}{2}.co{s}^{-1}\left(\frac{co{s}^2\theta .si{n}^2\theta }{si{n}^2\theta +co{s}^2\theta }\right)$

$=\frac{1}{2}.co{s}^{-1}\left(\frac{co{s}^2\theta -si{n}^2\theta }{1}\right)$ [$\therefore$ using $si{n}^2\theta +co{s}^2\theta =1]$

$\frac{1}{2}.co{s}^{-1}\left(cos2\theta \right)$ (using $cos2\theta -co{s}^2\theta -si{n}^2\theta )$

$=\frac{1}{2}.\theta$

$=\theta$

we assume that

$x=ta{n}^2\theta$

$\sqrt{x}=tan\theta$

$ta{n}^{-1}\sqrt{x}=\theta$

Hence,

$\frac{1}{2}.co{s}^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=0$

$\frac{1}{2}.co{s}^{-1}\left(\frac{1-x}{1+x}\right)=ta{n}^{-1}\sqrt{x}$

L.H.S = R.H.S

Hence proved.