Question

Prove that: whole root(secA-tanA/ secA+tanA) X whole root(cossecA-cotA/ cossecA+tanA) = (secA-1) (cosseA-1)

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{\mathrm{secA}-\mathrm{tanA}}{\mathrm{secA}+\mathrm{tanA}}}\times \sqrt{\frac{\mathrm{cosecA}-\mathrm{cotA}}{\mathrm{cosecA}+\mathrm{cotA}}} \\ =\sqrt{\frac{\mathrm{secA}-\mathrm{tanA}}{\mathrm{secA}+\mathrm{tanA}}}\times \sqrt{\frac{\mathrm{secA}-\mathrm{tanA}}{\mathrm{secA}-\mathrm{tanA}}}\times \sqrt{\frac{\mathrm{cosecA}-\mathrm{cotA}}{\mathrm{cosecA}+\mathrm{cotA}}}\times \sqrt{\frac{\mathrm{cosecA}-\mathrm{cotA}}{\mathrm{cosecA}-\mathrm{cotA}}} \\ =\frac{\mathrm{secA}-\mathrm{tanA}}{\sqrt{{\sec }^2\mathrm{A}-{\tan }^2\mathrm{A}}}\times \frac{\mathrm{cosecA}-\mathrm{cotA}}{\sqrt{{\mathrm{cosec}}^2\mathrm{A}-{\cot }^2\mathrm{A}}} \\ =\frac{\mathrm{secA}-\mathrm{tanA}}{1}\times \frac{\mathrm{cosecA}-\mathrm{cotA}}{1} \\ =\left(\mathrm{secA}-\mathrm{tanA}\right)\left(\mathrm{cosecA}-\mathrm{cotA}\right) \\ =\mathrm{secA}\mathrm{cosecA}-\mathrm{secA}\mathrm{cotA}-\mathrm{tanA}\mathrm{cosecA}+\mathrm{tanA}\mathrm{cotA} \\ =\mathrm{secA}\mathrm{cosecA}-\mathrm{cosecA}-\mathrm{secA}+1 \\ =\mathrm{secA}\left(\mathrm{cosecA}-1\right)-1\left(\mathrm{cosecA}-1\right) \\ =\left(\mathrm{secA}-1\right)\left(\mathrm{cosecA}-1\right) \end{gathered}$$
Regards