Question

Prove that :

$\left|\begin{array}{ccc}x+4& x& x\\ x& x+4& x\\ x& x& x+4\end{array}\right|=16\left(3x+4\right)$

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{LHS}=\mathrm{\Delta }=\left|x+4xx \\ xx+4x \\ xxx+4\right| \\ =\left|3\mathrm{x}+43\mathrm{x}+43\mathrm{x}+4 \\ \mathrm{x}\mathrm{x}+4\mathrm{x} \\ \mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{x}+4\right|\left[\mathrm{Applying}{\mathrm{R}}_1\to {\mathrm{R}}_1+{\mathrm{R}}_2+{\mathrm{R}}_3\right] \\ =\left(3\mathrm{x}+4\right)\left|111 \\ \mathrm{x}\mathrm{x}+4\mathrm{x} \\ \mathrm{x}\mathrm{x}\mathrm{x}+4\right|\left[\mathrm{Taking}\mathrm{out}\left(3\mathrm{x}+4\right)\mathrm{common}\mathrm{from}{\mathrm{R}}_1\right] \\ =\left(3\mathrm{x}+4\right)\left|100 \\ \mathrm{x}40 \\ \mathrm{x}04\right|\left[\mathrm{Applying}{\mathrm{C}}_2\to {\mathrm{C}}_2-{\mathrm{C}}_1\mathrm{and}{\mathrm{C}}_3\to {\mathrm{C}}_3-{\mathrm{C}}_1\right] \\ =\left(3\mathrm{x}+4\right)\left(4^2\right)\left[\mathrm{Expanding}\mathrm{along}{\mathrm{R}}_1\right] \\ =16\left(3\mathrm{x}+4\right) \\ =\mathrm{RHS} \end{gathered}$$