Question

Prove the following identities:
$\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{b+c}+\frac{2c}{c+a}+\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(b+c)(c+a)(a+b)}=3$.

Answer 1

L.H.S

$=\frac{2a}{a+b}+\frac{2b}{b+c}+\frac{2c}{c+a}+\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

$=\frac{2a(b+c)(a+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}+\frac{2b(a+b)(a+c)}{(b+c)(a+b)(a+c)}+\frac{2c(a+b)(b+c)}{(c+a)(a+b)(b+c)}+\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

As,

$\frac{2a(b+c)(a+c)}{(a+b)(b+c)(a+c)}=\frac{2a^{2}b+2a^{2}c+2c^{2}a+2abc}{(a+b)(b+c)(a+c)}$

$\frac{2b(a+b)(a+c)}{(b+c)(a+b)(a+c)}=\frac{2b^{2}c+2a{b}^2+2a^{2}b+2abc}{(b+c)(a+b)(a+c)}$

$\frac{2c(a+b)(b+c)}{(c+a)(a+b)(b+c)}=\frac{2a{c}^2+2b{c}^2+2b^{2}c+2abc}{(c+a)(a+b)(b+c)}$

$\frac{(b-c)(c-a)(a-b)}{(b+c)(c+a)(a+b)}=\frac{a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2-a{b}^2-b{c}^2-c{a}^2}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

upon adding all this we get,

$=\frac{2a^{2}b+2a^{2}c+2c^{2}a+2abc+2b^{2}c+2a{b}^2+2a^{2}b+2abc+2a{c}^2+2b{c}^2+2b^{2}c+2abc+a{b}^2+b{c}^2+c{a}^2-a{b}^2-b{c}^2-c{a}^2}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

$=\frac{6abc+3a^{2}b+3a^{2}c+3a{b}^2+3a{c}^2+3b^{2}c+3b{c}^2}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

$=\frac{3(2abc+a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+a{c}^2+b^{2}c+b{c}^2)}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

$=\frac{3(a^{2}b+a^{2}c+a{b}^2+abc+b{c}^2+b^{2}c+abc+a{c}^2)}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

$=\frac{3(a^2(b+c)+ab(b+c)bc(b+c)ac(b+c))}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

$=\frac{3(a^2+ab+bc+ac)(b+c)}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

$=\frac{3(b+c)(c(a+b)+a(a+b))}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

$\frac{3(b+c)(c+a)(a+b)}{(b+c)(c+a)(a+b)}$

$=3$

R.H.S