Question

Q.1. Find the value of k so that the straight line 2x + 3y + 4 + k(6x - y + 12) = 0 is perpendicular to the line 7x + 5y - 4 = 0.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{line}\mathrm{is}, \\ 2\mathrm{x}+3\mathrm{y}+4+\mathrm{k}\left(6\mathrm{x}-\mathrm{y}+12\right)=0 \\ \Rightarrow \left(2+6\mathrm{k}\right)\mathrm{x}+\left(3-\mathrm{k}\right)\mathrm{y}+4+12\mathrm{k}=0 \\ \Rightarrow \left(3-\mathrm{k}\right)\mathrm{y}=-\left(2+6\mathrm{k}\right)\mathrm{x}-\left(4+12\mathrm{k}\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{\left(2+6\mathrm{k}\right)\mathrm{x}}{\mathrm{k}-3}+\frac{12\mathrm{k}+4}{\mathrm{k}-3}.....\left(1\right) \\ \mathrm{Slope}\mathrm{of}\mathrm{line}\left(1\right)\mathrm{is}{\mathrm{m}}_1=\frac{2+6\mathrm{k}}{\mathrm{k}-3} \\ \mathrm{The}\mathrm{equation}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{other}\mathrm{line}\left(2\right)\mathrm{is}, \\ 7\mathrm{x}+5\mathrm{y}-4=0 \\ \Rightarrow 5\mathrm{y}=4-7\mathrm{x} \\ \Rightarrow \mathrm{y}=-\frac{7\mathrm{x}}{5}+\frac{4}{5}.....\left(2\right) \\ \mathrm{Slope}\mathrm{of}\mathrm{line}\left(2\right)\mathrm{is}{\mathrm{m}}_2=-\frac{7}{5} \\ \mathrm{Since},\mathrm{line}\left(1\right)\mathrm{is}\perp \mathrm{to}\mathrm{line}\left(2\right),\mathrm{then} \\ {\mathrm{m}}_1{\mathrm{m}}_2=-1 \\ \Rightarrow \frac{2+6\mathrm{k}}{\mathrm{k}-3}\times -\frac{7}{5}=-1 \\ \Rightarrow \frac{14+42\mathrm{k}}{5\mathrm{k}-15}=1 \\ \Rightarrow 42\mathrm{k}+14=5\mathrm{k}-15 \\ \Rightarrow 37\mathrm{k}=-29 \\ \Rightarrow \mathrm{k}=-\frac{29}{37} \end{gathered}$$