Question

(Q) The slope of the tangent line to the curve $x^3-x^2-2x+y-4=0$ at some point on it is 1 . Find the coordinates of such point or points.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Hi}, \\ \mathrm{for}\mathrm{slope}\mathrm{finding}\mathrm{derivative}, \\ 3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-2+\frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}-0=0 \\ \frac{\mathrm{dy}}{\mathrm{dx}}=-\left(3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-2\right) \\ \mathrm{and}\mathrm{its}\mathrm{value}\mathrm{is}\mathrm{given}1 \\ -\left(3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-2\right)=1 \\ 3{\mathrm{x}}^2-2\mathrm{x}-1=0 \\ 3{\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}+\mathrm{x}-1=0 \\ 3\mathrm{x}\left(\mathrm{x}-1\right)+1\left(\mathrm{x}-1\right)=0 \\ \left(\mathrm{x}-1\right)\left(3\mathrm{x}+1\right)=0 \\ \mathrm{x}=1,-\frac{1}{3} \\ \mathrm{so}\mathrm{putting}\mathrm{one}\mathrm{by}\mathrm{one}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{x}\mathrm{to}\mathrm{get}\mathrm{y} \\ \mathrm{at}\mathrm{x}=1, \\ 1-1-2+\mathrm{y}-4=0 \\ \mathrm{y}=6 \\ \mathrm{so}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{is}\left(1,6\right) \\ \mathrm{and}\mathrm{at}\mathrm{x}=\frac{-1}{3} \\ \frac{-1}{27}-\frac{1}{9}+\frac{2}{3}+\mathrm{y}-4=0 \\ \frac{-1-3+18}{27}-4=-\mathrm{y} \\ -\mathrm{y}=\frac{14-108}{27} \\ \mathrm{y}=\frac{94}{27} \\ \mathrm{so}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{is}\left(\frac{-1}{3},\frac{94}{27}\right) \end{gathered}$$