Question

Q59. A hotel has different number of rooms at five different floors in such a way that the lowest floor has smallest number of rooms and as we go up the higher floors, number of rooms increases. If the number of rooms at each floor is 2/3^rd of the number of rooms situated at the next higher floor, then what is the smallest number of rooms possible at the lowest floor?

एक होटल में पाँच विभिन्न मंज़िलों पर इस तरह अलग-अलग संख्या में कमरे हैं कि सबसे निचली मंज़िल पर सबसे कम कमरे हैं और जैसे ही हम ऊपरी मंज़िल पर चढ़ते हैं, तो कमरों की संख्या बढ़ जाती है। यदि प्रत्येक मंज़िल पर कमरों की संख्या अगली ऊपरी मंज़िल पर स्थित कमरों की संख्या की 2/3 है, तो सबसे निचली मंज़िल पर कमरों की सबसे कम संभव संख्या क्या है?

• A. 8
• B. 16
• C. 32
• D. Cannot be determined

Answer 1

The correct option is B

16

Let the number of rooms at the lowest floor (ground floor) be x. Number of rooms is always an integer. The number of rooms at each floor is 2/3^rd of the number of rooms situated at the next higher floor. We can also say, the number of rooms at each floor is 3/2 times the number of rooms situated at the next lower floor.

Thus, the number of rooms at 1^st floor = 3x/2

Similarly, the number of rooms at 2^nd floor = (3x/2)3/2 = 9x/4

The number of rooms at 3^rd floor = (9x/4)3/2 = 27x/8

The number of rooms at 4^th floor = (27x/8)3/2 = 81x/16

81x/16 must be an integer and smallest value of x for which it is an integer is 16. Thus, smallest possible number of rooms at the lowest floor is 16.

Note: Also, using Geometrical Progression we can find the n^th term = ar^n-1, where a is the first term and r is the common multiplying factor.

Thus, the number of rooms at 4^th floor = x(3/2)⁴ = 81x/16

माना कि निचली मंज़िल पर कमरों की संख्या (ग्राउंड फ्लोर) x है। कमरों की संख्या हमेशा एक पूर्णांक होती है।

प्रत्येक मंज़िल पर कमरों की संख्या उसके ऊपर की अगली मंज़िल पर स्थित कमरों की संख्या का 2/3^rd तक है। हम यह भी कह सकते हैं, कि प्रत्येक मंज़िल पर कमरों की संख्या निचली मंज़िल पर स्थित कमरों की संख्या का 3/2 गुना है।

इस प्रकार, 1^st मंज़िल पर कमरों की संख्या = 3x/2

इसी प्रकार, 2^nd मंज़िल पर कमरों की संख्या = (3x/2)3/2 = 9x/4

3^rd तक मंज़िल पर कमरों की संख्या = (9x/4)3/2 = 27x/8

4^th मंज़िल पर कमरों की संख्या = (27x/8)3/2 = 81x/16

81x/16 एक पूर्णांक होना चाहिए और x का सबसे छोटा मान जिसके लिए वह एक पूर्णांक है वह 16 होगा । इस प्रकार, निचली मंज़िल पर कमरों की सबसे कम संभावित संख्या 16 है।

नोट: इसके अलावा, ज्यामितीय श्रेणी का प्रयोग करने पर n^th पद ज्ञात कर सकते हैं = ar^n-1, जहां a पहला पद है और r उभयनिष्ठ गुणज है।

4^th मंज़िल पर कमरों की संख्या = x(3/2)⁴ = 81x/16