Given, cosec θ+cot θ=p
⇒1sin θ+cos θsin θ=p[∵cosec θ=1sin θ and cot θ=cos θsin θ]
⇒1+cos θsin θ=p1
⇒(1+cos θ)2sin2 θ=p21 [take square on both sides]
⇒1+cos2 θ+2 cos θsin2 θ=p21
Using componendo and dividendo rule, we get;
(1+cos2 θ+2 cos θ)−sin2 θ(1+cos2 θ+2 cos θ)+sin2 θ=p2−1p2+1
⇒1+cos2 θ+2 cos θ−(1−cos2 θ)1+2 cos θ+(cos2 θ+sin2 θ)=p2−1p2+1 [∵sin2 θ+cos2 θ=1]
⇒2 cos2 θ+2 cos θ2+2 cos θ=p2−1p2+1
⇒2 cos θ(cos θ+1)2(cos θ+1)=p2−1p2+1
∴cos θ=p2−1p2+1