Question

Resolve $\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}$ into partial fractions.

Answer 1

$\frac{x^4}{(x-1)(x-2)}$
$=\frac{\left(\right(x-1)-(x-2\left)\right)x^4}{(x-1)(x-2)}$
$=\frac{(x-1)x^4}{(x-1)(x-2)}-\frac{(x-2)x^4}{(x-1)(x-2)}$
$=\frac{x^4}{(x-2)}-\frac{x^4}{(x-1)}$
$=\frac{(x-2+2)(x{)}^3}{(x-2)}-\frac{(x-1+1)x^3}{(x-1)}$
$=x^3+\frac{2x^3}{x-2}-x^3-\frac{x^3}{x-1}$
$=\frac{2x^3}{x-2}-\frac{x^3}{x-1}$
$=\frac{2(x-2+2)x^2}{x-2}-\frac{(x-1+1)x^2}{x-1}$
$=2x^2+\frac{4x^2}{x-2}-x^2-\frac{x^2}{x-1}$
$=x^2+\frac{4(x-2+2)x}{x-2}-\frac{(x-1+1)x}{x-1}$
$=x^2+4x+\frac{8x}{x-2}-x-\frac{x}{x-1}$
$=x^2+3x+\frac{8(x-2+2)}{x-2}-\frac{x-1+1}{x-1}$
$=x^2+3x+8+\frac{16}{x-2}-1-\frac{1}{x-1}$
$=x^2+3x+7+\frac{16}{x-2}-\frac{1}{x-1}$