Question

Resolve each of the following quadratic trinomial into factor:
(x − 2y)² − 5(x − 2y) + 6

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{given}\mathrm{expression}\mathrm{is}{\mathrm{a}}^2-5\mathrm{a}+6. \\ \mathrm{Assuming}\mathrm{a}=\mathrm{x}-2\mathrm{y},\mathrm{we}\mathrm{have}: \\ (\mathrm{x}-2\mathrm{y}{)}^2-5(\mathrm{x}-2\mathrm{y})+6={\mathrm{a}}^2-5\mathrm{a}+6(\mathrm{Coefficient}\mathrm{of}{\mathrm{a}}^2=1,\mathrm{coefficient}\mathrm{of}\mathrm{a}=-5\mathrm{and}\mathrm{constant}\mathrm{term}=6) \\ \mathrm{Now},\mathrm{we}\mathrm{will}\mathrm{split}\mathrm{the}\mathrm{coefficient}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{into}\mathrm{two}\mathrm{parts}\mathrm{such}\mathrm{that}\mathrm{their}\mathrm{sum}\mathrm{is}-5\mathrm{and}\mathrm{their}\mathrm{product}\mathrm{equals}\mathrm{the}\mathrm{product}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{coefficient}\mathrm{of}{\mathrm{a}}^2\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{constant}\mathrm{term},\mathrm{i}.\mathrm{e}.,1\times 6=6. \\ \mathrm{Clearly}, \\ (-2)+(-3)=-5 \\ \mathrm{and} \\ (-2)\times (-3)=6 \\ \mathrm{Replacing}\mathrm{the}\mathrm{middle}\mathrm{term}-5\mathrm{a}\mathrm{by}-2\mathrm{a}-3\mathrm{a},\mathrm{we}\mathrm{have}: \\ {\mathrm{a}}^2-5\mathrm{a}+6={\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}-3\mathrm{a}+6 \\ =({\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a})-(3\mathrm{a}-6) \\ =\mathrm{a}(\mathrm{a}-2)-3(\mathrm{a}-2) \\ =(\mathrm{a}-3\left)\right(\mathrm{a}-2) \\ \mathrm{Replacing}\mathrm{a}\mathrm{by}(\mathrm{x}-2\mathrm{y}),\mathrm{we}\mathrm{get}: \\ (\mathrm{a}-3\left)\right(\mathrm{a}-2)=(\mathrm{x}-2\mathrm{y}-3\left)\right(\mathrm{x}-2\mathrm{y}-2) \end{gathered}$$