Question

seg ST$\parallel$side QR
Find the following ratios.

$\left(\mathrm{i}\right)\frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PST})}{\mathrm{A}(△\mathrm{QST})}$

$\left(\mathrm{ii}\right)\frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PST})}{\mathrm{A}(△\mathrm{RST})}$

$\left(\mathrm{iii}\right)\frac{\mathrm{A}(△\mathrm{QST})}{\mathrm{A}(△\mathrm{RST})}$

Answer 1

Construction: Draw perpendiculars TM and SN on sides PQ and PR, respectively.



Proof :
$$\begin{gathered} \mathrm{If}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{of}{△}_1\mathrm{is}{\mathrm{A}}_1\mathrm{and}\mathrm{the}\mathrm{area}\mathrm{of}{△}_2\mathrm{is}{\mathrm{A}}_2,\mathrm{then}: \\ \frac{{\mathrm{A}}_1}{{\mathrm{A}}_2}=\frac{b_1\times h_1}{b_2\times h_2} \\ \mathrm{Here},b_1\mathrm{and}{b}_2\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{bases}\mathrm{and}{h}_1\mathrm{and}{h}_2\mathrm{are}\mathrm{the}\mathrm{heights}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{respective}\mathrm{triangles}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{i}\right)\mathrm{Here},\mathit{} \\ {b}_{\mathit{1}}=\mathrm{PS}\mathrm{and}{h}_1=\mathrm{TM} \\ {b}_2=\mathrm{QS}\mathrm{and}{h}_2=\mathrm{TM} \\ \frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PST})}{\mathrm{A}(△\mathrm{QST})}=\frac{\mathrm{PS}\times \mathrm{TM}}{\mathrm{QS}\times \mathrm{TM}} \\ \therefore \frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PST})}{\mathrm{A}(△\mathrm{QST})}=\frac{\mathrm{PS}}{\mathrm{QS}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{ii}\right)\mathrm{Here}, \\ {b}_1=\mathrm{PT}\mathrm{and}{h}_1=\mathrm{SN} \\ {b}_2=\mathrm{TR}\mathrm{and}{h}_2=\mathrm{SN} \\ \frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PST})}{\mathrm{A}(△\mathrm{RST})}=\frac{\mathrm{PT}\times \mathrm{SN}}{\mathrm{TR}\times \mathrm{SN}} \end{gathered}$$

$\therefore \frac{\mathrm{A}(△\mathrm{PST})}{\mathrm{A}(△\mathrm{QST})}=\frac{\mathrm{PT}}{\mathrm{TR}}$

$$\begin{gathered} \left(\mathrm{iii}\right)\mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}\mathrm{the}\mathrm{triangles}\mathrm{that}\mathrm{lie}\mathrm{between}\mathrm{two}\mathrm{parallel}\mathrm{lines}\mathrm{have}\mathrm{equal}\mathrm{heights}. \\ \mathrm{Also},\mathrm{the}\mathrm{triangles}\mathrm{with}\mathrm{common}\mathrm{bases}\mathrm{and}\mathrm{equal}\mathrm{heights}\mathrm{are}\mathrm{equal}\mathrm{in}\mathrm{area}. \\ \therefore \mathrm{A}(△\mathrm{QST})=\mathrm{A}(△\mathrm{RST}) \\ \mathrm{Or}, \\ \frac{\mathrm{A}(△\mathrm{QST})}{\mathrm{A}(△\mathrm{RST})}=\frac{1}{1} \end{gathered}$$