Question

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Q.):- What is the maximum value of $a\sin \theta +b\cos \theta$

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)=\mathrm{asin\theta }+\mathrm{bcos\theta } \\ \mathrm{Further},\mathrm{let}\mathrm{b}=\mathrm{rsin\alpha }\mathrm{and}\mathrm{a}=\mathrm{rcos\alpha }.\mathrm{Then}, \\ {\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2 \\ ={\mathrm{r}}^2{\cos }^2\mathrm{\alpha }+{\mathrm{r}}^2{\sin }^2\mathrm{\alpha } \\ ={\mathrm{r}}^2\left({\cos }^2\mathrm{\alpha }+{\sin }^2\mathrm{\alpha }\right) \\ ={\mathrm{r}}^2\left[\mathrm{as}{\cos }^2\mathrm{A}+{\sin }^2\mathrm{A}=1\right] \\ \Rightarrow \mathrm{r}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}...\left(1\right) \\ \mathrm{and}\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}=\frac{\mathrm{rsin\alpha }}{\mathrm{rcos\alpha }}=\mathrm{tan\alpha } \\ \mathrm{Putting}\mathrm{the}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{a}\mathrm{and}\mathrm{b}\mathrm{in}\mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right),\mathrm{we}\mathrm{obtain} \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)=\mathrm{rcos\alpha }\mathrm{sin\theta }+\mathrm{rsin\alpha cos\theta } \\ =\mathrm{r}\left(\mathrm{cos\alpha }\mathrm{sin\theta }+\mathrm{sin\alpha cos\theta }\right) \\ =\mathrm{r}\left(\sin \left(\mathrm{\theta }+\mathrm{\alpha }\right)\right) \\ \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that} \\ -1\le \sin \left(\mathrm{\theta }+\mathrm{\alpha }\right)\le 1\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{\theta } \\ \Rightarrow -\mathrm{r}\le \mathrm{r}\sin \left(\mathrm{\theta }+\mathrm{\alpha }\right)\le \mathrm{r}\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{\theta }\left[\mathrm{Multiplying}\mathrm{throughout}\mathrm{by}\mathrm{r}.\right] \\ \Rightarrow -\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}\le \mathrm{f}\left(\mathrm{\theta }\right)\le \sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{\theta }\left[\mathrm{using}\left(1\right)\right] \\ \Rightarrow -\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}\le \mathrm{asin\theta }+\mathrm{bcos\theta }\le \sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}\mathrm{for}\mathrm{all}\mathrm{\theta } \\ \mathrm{Hence}\mathrm{maximum}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{asin\theta }+\mathrm{bcos\theta }\mathrm{is}\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2} \\ \mathrm{Note}: \\ \sin \left(\mathrm{A}+\mathrm{B}\right)=\mathrm{sinAcosB}+\mathrm{cosAsinB} \end{gathered}$$
Regards