Question

Show That $7+\sqrt{7}$ is an irrational number.

Answer 1

Let us assume that 7+$\sqrt{7}$ is a rational number, so that $7+\sqrt{7}=\frac{a}{b},\mathrm{where}a\mathrm{and}b\mathrm{are}\mathrm{co}-\mathrm{prime}\mathrm{integers}$ (b$\ne$0).
So,
$$\begin{gathered} 7+\sqrt{7}=\frac{a}{b} \\ \mathrm{or},\sqrt{7}=\frac{a}{b}-7 \\ \mathrm{or},\sqrt{7}=\frac{a-7b}{b} \\ \mathrm{Since}a\mathrm{and}b\mathrm{are}\mathrm{integers},\frac{a-7b}{b}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \text{So},\sqrt{7}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{nummber}. \\ \mathrm{But}\mathrm{this}\mathrm{contradict}s\mathrm{the}\mathrm{fact}\mathrm{that}\sqrt{7}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{This}\mathrm{contradiction}\mathrm{arsies}\mathrm{because}\mathrm{of}\mathrm{our}\mathrm{wrong}\mathrm{assumption}\mathrm{that}7+\sqrt{7}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \text{H}\mathrm{ence},\mathrm{our}\mathrm{assumption}\mathrm{is}\mathrm{wrong}. \\ \mathrm{So},7+\sqrt{7}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \end{gathered}$$