Question

show that every odd positive integer is of the form 6q+1 or 6q+3 or 6q+5 for some integer m

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Take}"\mathrm{a}"\mathrm{as}\mathrm{any}\mathrm{positive}\mathrm{integer}\mathrm{and}\mathrm{b}=6 \\ \mathrm{Then}\mathrm{by}\mathrm{Euclid}\text{'}\mathrm{s}\mathrm{division}\mathrm{lemma},\mathrm{there}\mathrm{exist}\mathrm{two}\mathrm{more}\mathrm{positive}\mathrm{intgers}\text{'}\mathrm{r}\text{'} \\ \mathrm{and}\text{'}\mathrm{q}\text{'}\mathrm{such}\mathrm{that}, \\ \mathrm{a}=6\mathrm{q}+\mathrm{r},0\le \mathrm{r}<6 \\ \mathrm{Since}\mathrm{r}\mathrm{takes}\mathrm{values}\mathrm{such}\mathrm{that}0\le \mathrm{r}<6,\mathrm{the}\mathrm{possible}\mathrm{forms}\mathrm{of}\text{'}\mathrm{a}\text{'}\mathrm{are}, \\ 6\mathrm{q}+0,6\mathrm{q}+1,6\mathrm{q}+2,6\mathrm{q}+3,6\mathrm{q}+4,6\mathrm{q}+5 \\ \mathrm{Check}\mathrm{if}\mathrm{these}\mathrm{numbers}\mathrm{are}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2\mathrm{or}\mathrm{not}. \\ \mathrm{The}\mathrm{number}\mathrm{which}\mathrm{are}\mathrm{not}\mathrm{divisibel}\mathrm{by}2\mathrm{are}\mathrm{odd}\mathrm{numbers}. \\ \mathrm{Here}\mathbf{6}\mathbf{q}\mathbf{+}\mathbf{0}=6\mathrm{q}\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}6,\mathrm{so}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2\mathrm{which}\mathrm{makes} \\ \mathrm{it}\mathrm{an}\mathrm{even}\mathrm{number}. \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathbf{}\mathbf{6}\mathbf{q}\mathbf{+}\mathbf{1},6\mathrm{q}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2\mathrm{but}1\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2.\mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{entire} \\ \mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2.\mathrm{This}\mathrm{shows}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{odd}\mathrm{number}. \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathbf{}\mathbf{6}\mathbf{q}\mathbf{+}\mathbf{2},6\mathrm{q}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2\mathrm{and}2\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2.\mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{entire} \\ \mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2.\mathrm{This}\mathrm{shows}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{even}\mathrm{number}. \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathbf{6}\mathbf{q}\mathbf{+}\mathbf{3},6\mathrm{q}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2\mathrm{but}3\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2.\mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{entire} \\ \mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2.\mathrm{This}\mathrm{shows}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{odd}\mathrm{number}. \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathbf{}\mathbf{6}\mathbf{q}\mathbf{+}\mathbf{4},6\mathrm{q}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2\mathrm{and}4\mathrm{is}\mathrm{also}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2.\mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{entire} \\ \mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2.\mathrm{This}\mathrm{shows}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{even}\mathrm{number}. \\ \mathrm{In}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathbf{}\mathbf{6}\mathbf{q}\mathbf{+}\mathbf{5},6\mathrm{q}\mathrm{is}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2\mathrm{but}5\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2.\mathrm{So}\mathrm{the}\mathrm{entire} \\ \mathrm{number}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{divisible}\mathrm{by}2.\mathrm{This}\mathrm{shows}\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{odd}\mathrm{number}. \\ \mathbf{This}\mathbf{}\mathbf{proves}\mathbf{}\mathbf{that}\mathbf{}\mathbf{every}\mathbf{}\mathbf{odd}\mathbf{}\mathbf{positive}\mathbf{}\mathbf{integer}\mathbf{}\mathbf{takes}\mathbf{}\mathbf{the}\mathbf{}\mathbf{form}\mathbf{}\mathbf{6}\mathbf{q}\mathbf{+}\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{}\mathbf{6}\mathbf{q}\mathbf{+}\mathbf{3}\mathbf{,}\mathbf{}\mathbf{} \\ \mathbf{6}\mathbf{q}\mathbf{+}\mathbf{5}\mathbf{}\mathbf{}\mathbf{for}\mathbf{}\mathbf{some}\mathbf{}\mathbf{integer}\mathbf{}\mathbf{q} \end{gathered}$$