Question

Show that for any two sets $A$ and $B$:

$\left(i\right)A=(A\cap B)\cup (A-B)$ and

$\left(ii\right)A\cup (B-A)=(A\cup B)$

Answer 1

(i) To prove $A=(A\cap B)\cup (A-B)$

Let $x\in A$

$\Rightarrow x\in B$ or $x\text{/}\in B$

If $x\in B\Rightarrow x\in A\cap B$

If $x\text{/}\in B\Rightarrow x\in A-B$

Hence $x\in (A\cap B)\cup (A-B)$

$\therefore A\subseteq (A\cap B)\cup (A-B)$

Let $y\in (A\cap B)\cup (A-B)$

$y\in (A\cap B)$ (or) $y\in (A-B)$

$[y\in A$ and $y\in B]$ (or) $[y\in A$ and $y\text{/}\in B]$

$\Rightarrow y\in A$

$\therefore (A\cap B)\cup (A-B)\subseteq A$

Hence $A=(A\cap B)\cup (A-B)$.

(ii) $B=A\subseteq B$

$\Rightarrow A\cup (B-A)\subseteq A\cup B$

Let $x\in A\cup B\Rightarrow x\in A$ or $x\in B$

If $x\in A$, then $x\in A\cup (B-A)$

$\Rightarrow A\cup (B-A)=A\cup B$

If $x\in A$, then $x\in B-A$

$\Rightarrow x\in A\cup (B-A)$

$\Rightarrow (A\cup B)\subseteq A\cup (B-A)$

$\Rightarrow A\cup B=A\cup (B-A)$.