Question

Show that the Cryptarithm $4\times \overline{AB}=\overline{CAB}$ does not have any solution.

Answer 1

$$\begin{gathered} 0\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{only}\mathrm{unit}\mathrm{digit}\mathrm{number},\mathrm{which}\mathrm{gives}\mathrm{the}\mathrm{same}0\mathrm{at}\mathrm{the}\mathrm{unit}\mathrm{digit}\mathrm{when}\mathrm{multiplied}\mathrm{by}4.\mathrm{So},\mathrm{the}\mathrm{possible}\mathrm{value}\mathrm{of}\mathrm{B}\mathrm{is}0. \\ \mathrm{Similarly},\mathrm{for}\mathrm{A}\mathrm{also},0\mathrm{is}\mathrm{the}\mathrm{only}\mathrm{possible}\mathrm{digit}. \\ \mathrm{But}\mathrm{then}\mathrm{A},\mathrm{B}\mathrm{and}\mathrm{C}\mathrm{will}\mathrm{all}\mathrm{be}0. \\ \mathrm{And}\mathrm{if}\mathrm{A},\mathrm{B}\mathrm{and}\mathrm{C}\mathrm{become}0,\mathrm{these}\mathrm{numbers}\mathrm{cannot}\mathrm{be}\mathrm{of}\mathrm{two}-\mathrm{digit}\mathrm{or}\mathrm{three}-\mathrm{digit}. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{both}\mathrm{will}\mathrm{become}\mathrm{a}\mathrm{one}-\mathrm{digit}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Thus},\mathrm{there}\mathrm{is}\mathrm{no}\mathrm{solution}\mathrm{possible}. \end{gathered}$$