Question

show that the lines r = (3i + 2j - 4k) +lambda(i + 2j + 2k) and r = (5i - 2j) + mu(3i + 2j + 6k) are intersecting . hence find their point of intersection

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{position}\mathrm{vectors}\mathrm{of}\mathrm{arbitrary}\mathrm{points}\mathrm{on}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{lines}\mathrm{are} \\ \left(3\mathrm{i}+2\mathrm{j}-4\mathrm{k}\right)+\mathrm{\lambda }\left(\mathrm{i}+2\mathrm{j}+2\mathrm{k}\right)=\left(3+\mathrm{\lambda }\right)\mathrm{i}+\left(2+2\mathrm{\lambda }\right)\mathrm{j}+\left(-4+2\mathrm{\lambda }\right)\mathrm{k} \\ \mathrm{and}\left(5\mathrm{i}-2\mathrm{j}\right)+\mathrm{\mu }\left(3\mathrm{i}+2\mathrm{j}+6\mathrm{k}\right)=\left(5+3\mathrm{\mu }\right)\mathrm{i}+\left(-2+2\mathrm{\mu }\right)\mathrm{j}+\left(6\mathrm{\mu }\right)\mathrm{k} \\ \mathrm{respectively} \\ \mathrm{If}\mathrm{the}\mathrm{lines}\mathrm{intersect},\mathrm{then}\mathrm{they}\mathrm{have}\mathrm{a}\mathrm{common}\mathrm{point}.\mathrm{So}\mathrm{for}\mathrm{some}\mathrm{values}\mathrm{of} \\ \mathrm{\lambda }\mathrm{and}\mathrm{\mu },\mathrm{we}\mathrm{must}\mathrm{have} \\ \left(3+\mathrm{\lambda }\right)\mathrm{i}+\left(2+2\mathrm{\lambda }\right)\mathrm{j}+\left(-4+2\mathrm{\lambda }\right)\mathrm{k}=\left(5+3\mathrm{\mu }\right)\mathrm{i}+\left(-2+2\mathrm{\mu }\right)\mathrm{j}+\left(6\mathrm{\mu }\right)\mathrm{k} \\ \Rightarrow 3+\mathrm{\lambda }=5+3\mathrm{\mu },2+2\mathrm{\lambda }=-2+2\mathrm{\mu },-4+2\mathrm{\lambda }=6\mathrm{\mu } \\ \left[\mathrm{on}\mathrm{equating}\mathrm{coefficients}\mathrm{of}\mathrm{i},\mathrm{j}\mathrm{and}\mathrm{k}\right] \\ \mathrm{Solving}\mathrm{the}\mathrm{last}\mathrm{two}\mathrm{equation}, \\ \mathrm{we}\mathrm{get}\mathrm{\lambda }=-4 \\ \mathrm{and}\mathrm{\mu }=-2 \\ \mathrm{These}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{\lambda }\mathrm{and}\mathrm{\mu }\mathrm{satisy}\mathrm{the}\mathrm{equation}3+\mathrm{\lambda }=5+3\mathrm{\mu }. \\ \mathrm{so}\mathrm{the}\mathrm{given}\mathrm{lines}\mathrm{intersect}. \\ \mathrm{Put}\mathrm{\lambda }=-4\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{line},\mathrm{we}\mathrm{get} \\ \overrightarrow{\mathrm{r}}=\left(3\mathrm{i}+2\mathrm{j}-4\mathrm{k}\right)+\left(-4\right)\left(\mathrm{i}+2\mathrm{j}+2\mathrm{k}\right)=-\mathrm{i}-6\mathrm{j}-12\mathrm{k} \\ \mathrm{as}\mathrm{the}\mathrm{position}\mathrm{vector}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{intersection}. \\ \mathrm{Thus}\mathrm{the}\mathrm{coordintes}\mathrm{of}\mathrm{point}\mathrm{of}\mathrm{intersection}\mathrm{are}\left(-1,-6,-12\right) \end{gathered}$$
Regards