Question

Simplify $\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{a-\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{a+\sqrt{a^2-b^2}}$.

Answer 1

Given, $\frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{a-\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{a+\sqrt{a^2-b^2}}$

Solving and using,

$(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$

$(a-b{)}^2=a^2-2ab+b^2$

$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

We get,

$\therefore \frac{a+\sqrt{a^2-b^2}}{a-\sqrt{a^2-b^2}}+\frac{a-\sqrt{a^2-b^2}}{a+\sqrt{a^2-b^2}}$

$=\frac{a^2+a^2-b^2+2a\sqrt{a^2-b^2}+a^2+a^2-b^2-2a\sqrt{a^2-b^2}}{a^2-a^2+b^2}$

$=\frac{a^2+a^2-b^2+a^2+a^2-b^2}{a^2-a^2+b^2}$

$=\frac{2(2a^2-b^2)}{b^2}$