Question

Solve: $(1+y^2)\frac{dx}{dy}+x=e^{-{\tan }^{-1}}y$

Answer 1

Given,

$(1+y^2)\frac{dx}{dy}+x=e^{-{\tan }^{-1}y}$

$\frac{dx}{dy}+\frac{1}{1+y^2}x=\frac{e^{-{\tan }^{-1}y}}{1+y^2}$

$\frac{dx}{dy}+Px=Q$

$P=\frac{1}{1+y^2}\to I.F=e^{\int Pdy}=e^{\int \frac{1}{1+y^2}dy}\Rightarrow I.F=e^{{\tan }^{-1}y}$

$Q=\frac{e^{-{\tan }^{-1}y}}{1+y^2}$

$x\times I.F=\int Q\times I.Fdy$

$x\times e^{{\tan }^{-1}y}=\int \frac{e^{-{\tan }^{-1}y}}{1+y^2}{e}^{{\tan }^{-1}y}dy$

$x{e}^{{\tan }^{-1}y}=\int \frac{1}{1+y^2}dy$

$x{e}^{{\tan }^{-1}y}=e^{{\tan }^{-1}y}+c$