Question

Solve: $\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2& 2ab& -2b\\ 2ab& 1-a^2+b^2& 2a\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|=(1+a^2+b^2{)}^3$.

Answer 1

Now,

$\left|\begin{array}{ccc}1+a^2-b^2& 2ab& -2b\\ 2ab& 1-a^2+b^2& 2a\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$

{$R_1^{\prime }=R_1+b{R}_3$ and $R_2^{\prime }=R_2-a{R}_1$]

$=\left|\begin{array}{ccc}1+a^2+b^2& 0& -b(1+a^2+b^2)\\ 0& 1+a^2+b^2& a(1+a^2+b^2)\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$

$=(1+a^2+b^2{)}^2\left|\begin{array}{ccc}1& 0& -b\\ 0& 1& a\\ 2b& -2a& 1-a^2-b^2\end{array}\right|$

$=(1+a^2+b^2{)}^2\{1-a^2-b^2+2a^2-b(-2b)\}$

$=(1+a^2+b^2{)}^3$.