Question

Solve $\frac{1}{1.3}+\frac{2}{\mathrm{1.3.5}}+\frac{3}{\mathrm{1.3.5.7}}+\frac{4}{\mathrm{1.3.5.7.9}}+\dots$

Answer 1

$T_1=\frac{1}{2}\left[\frac{3-1}{1.3}\right]=\frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{3}\right]=\frac{1}{2}-\frac{1}{2.3}$

$T_2=\frac{2}{\mathrm{1.3.5}}=\frac{5-3}{3.5}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}....+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$

$T_3=\frac{3}{\mathrm{1.3.5.7}}=\frac{1}{2}\left(\frac{7-5}{5.7}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)$

$T_n=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right]$ so $S=\frac{1}{2}\sum _{\infty =1}^n\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{1}-\frac{1}{3}\right].$

$=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right].$

$\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}$

$S=\frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{2n+1}\right]$

$=\frac{2n}{2\left(2n+1\right)}=\frac{n}{n+1}$

$T_1=\frac{1}{1.3}=\left[\frac{3-1}{1.3}\right]=\frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{3}\right]$

$T_2=\frac{2}{\mathrm{1.3.5}}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{3}-\frac{1}{\mathrm{1.3.5}}\right]$

$T_3=\frac{3}{\mathrm{1.3.5.7}}=\frac{1}{2}\left[\frac{1}{\mathrm{1.3.5}}-\frac{1}{\mathrm{1.3.5.7}}\right]$

$S=\frac{1}{2}\left[1-\frac{1}{\mathrm{1.3.5}\dots \left(2n+1\right)}\right]$