Question

Solve :First term of AP is 7 ,if the sum of first 4 terms is half of the sum next four terms .find the common difference

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{a}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{first}\mathrm{term}\mathrm{and}\mathrm{d}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{common}\mathrm{difference}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{a}=7 \\ \mathrm{Now},\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{AP}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by} \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}\right] \\ \mathrm{Now},\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{first}8\mathrm{terms}\mathrm{is} \\ {\mathrm{S}}_8=\frac{8}{2}\left[2\times 7+7\mathrm{d}\right]=4\left(14+7\mathrm{d}\right)=56+28\mathrm{d} \\ \mathrm{Now},{\mathrm{S}}_4=\frac{4}{2}\left[2\times 7+3\mathrm{d}\right]=2\left(14+3\mathrm{d}\right)=28+6\mathrm{d} \\ \mathrm{Now},\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{next}4\mathrm{terms}={\mathrm{S}}_8-{\mathrm{S}}_4=\left(56+28\mathrm{d}\right)-\left(28+6\mathrm{d}\right)=28+22\mathrm{d} \\ \mathrm{Now},\mathrm{according}\mathrm{to}\mathrm{question}: \\ {\mathrm{S}}_4=\frac{1}{2}\left({\mathrm{S}}_8-{\mathrm{S}}_4\right) \\ \Rightarrow 28+6\mathrm{d}=\frac{1}{2}\left(28+22\mathrm{d}\right) \\ \Rightarrow 56+12\mathrm{d}=28+22\mathrm{d} \\ \Rightarrow 22\mathrm{d}-12\mathrm{d}=56-28 \\ \Rightarrow 10\mathrm{d}=28 \\ \Rightarrow \mathrm{d}=\frac{28}{10}=\frac{14}{5} \end{gathered}$$