Question

Solve :
$I=\int \frac{5x-2}{x^2+4}dx$

Answer 1

$I=\int \frac{5x-2}{x^2+4}dx$

$=5\int \frac{x}{x^2+4}dx-\int \frac{2}{x^2+4}dx$

$I=A-B$

$\left(A\right)$

$5\int \frac{x}{x^2+4}dx$

$x^2+4=t$

$2xdx=dt$

$\Rightarrow \frac{5}{2}\int \frac{dt}{t}$

$\Rightarrow \frac{5}{2}ln|t|+c$

$\Rightarrow \frac{5}{2}ln|x^2+4|+c$

$\left(B\right)$

$\int \frac{2}{x^2+4}dx$

$(\int \frac{dx}{x^2+a^2})=\frac{1}{a}ta{n}^{-1}\left(\frac{x}{a}\right)$

$\Rightarrow 2\int \frac{2}{x^2+(2{)}^2}$

$\Rightarrow 2\times \frac{1}{2}ta{n}^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+p$

$ta{n}^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+p$

$I=A-B$

$\Rightarrow I=\frac{5}{2}ln|x^2+4|+c-ta{n}^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+p$

$\Rightarrow \frac{5}{2}ln|x^2+4|-ta{n}^{-1}\left(\frac{x}{2}\right)+k$