We have,
I=∫dxa2−x2
I=−∫dx(x−a)(x+a)
I=−12a[∫dx(x−a)−∫dx(x+a)]
I=−12a[ln(x−a)−ln(x+a)]+C
I=12a[ln|x+a|−ln|x−a|]+C
I=12a[ln|a+x|−ln|a−x|]+C
I=12a[ln∣∣∣a+xa−x∣∣∣]+C
Hence, proved.