Question

Solve $\int \frac{1-x^7}{x(1+x^7)}dx$

Answer 1

$\int \frac{1-x^7}{x(1+x^7)}dx=\int \frac{1+x^7-2x^7}{x(1+x^7)}dx$

$=\int \frac{(4+x^7)}{x(1+x^7)}dx-2\int \frac{x^6}{(1+x^7)}dx$

$=\int \frac{dx}{x}-2\int \frac{x^6}{1+x^7}dx$

$lnx-2\int \frac{x^6}{1+x^7}dx$

$1+x^7=t$

$7x^{6}dx=dt$

$=lnx=\frac{2}{7}\int \frac{dt}{t}$

$=lnx=\frac{2}{7}lnt+C$

$=lnx-\frac{2}{7}ln(1+x^7)+C=lnx-ln(1+x^7{)}^{2/7}+C$

$=ln\left(\frac{x}{(1+x^7{)}^{2/7}}\right)+C$