Question

Solve the following inequality:
$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}⩽\frac{2}{x+2}$

Answer 1

$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}\le \frac{2}{x+2}$

$\frac{1}{x-2}-\frac{1}{x}-\frac{2}{x+2}\le 0$

$=\frac{x(x+2)}{x(x-2)(x+2)}-\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)(x+2)}-\frac{2x(x-2)}{(x+2)x(x-2)}$

$=\frac{x(x+2)-(x-2)(x+2)-2x(x-2)}{x(x-2)(x+2)}$

$=\frac{-2x^2+6x+4}{x(x-2)(x+2)}$

$\frac{-2x^2+6x+4}{x(x-2)(x+2)}\le 0$

$\frac{2(x^2-3x-2)}{x(x-2)(x+2)}\ge 0$

$x^2-3x-2iszerofor:x=\frac{3+\sqrt{17}}{2},x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}$

$x^2-3x-2isnegativefor:\frac{3-\sqrt{17}}{2}<x<\frac{3+\sqrt{17}}{2}$

$x^2-3x-2ispositivefor:x<\frac{3-\sqrt{17}}{2}orx>\frac{3+\sqrt{17}}{2}$

$-2<x\le \frac{3-\sqrt{17}}{2}or0<x<2orx\ge \frac{3+\sqrt{17}}{2}$