Question

Solve the following inequality:
${\log }_a(1-8a^{-x})⩾2(1-x)\left(aϵR\right)$

Answer 1

${\log }_a(1-8a^{-x})\ge 2(1-x)\left(aϵR\right)$

Here, $1-8a^{-x}>0$ & $a>0$

$\frac{1}{8}\ge a^{-x}$

$-{\log }_{a}8\ge -x$

$x\ge {\log }_{a}8\Rightarrow xϵ({\log }_{a}8,\infty )$

For $(a>1)$

${\log }_a(1-8a^{-x})\ge 2(1-x)$

$1-8a^{-x}\ge a^2{a}^{-2x}$

$a^{2x}-8a^x\ge a^2$

$a^{2x}-8a^x-a^2\ge 0$

$a^xϵ(-\infty ,\frac{8-2\sqrt{16+a^2}}{2}]\bigcup [\frac{8+2\sqrt{16+a^2}}{2},\infty )$

$a^xϵ(-\infty ,4-\sqrt{16+a^2}]\bigcup [4+\sqrt{16+a^2},\infty )$

$xϵ[{\log }_a(4+\sqrt{16+a^2}),\infty )$

For $aϵ(0,1)$

${\log }_a(1-8a^{-x})\ge 2(1-x)$

$(1-8a^{-x})\le a^2{a}^{-2x}$

$a^{2x}-8a^x-a^2\le 0$

$a^xϵ[\frac{8-2\sqrt{16+a^2}}{2},\frac{8+2\sqrt{16+a^2}}{2}]$

$a^xϵ[4-\sqrt{16+a^2},4+\sqrt{16+a^2}]$

$a^xϵ(0,4+\sqrt{16+a^2}]$

$xϵ(-\infty ,{\log }_a(4+\sqrt{16+a^2})]$