Question

Solve this :


$\mathbf{3}\mathbf{.}Ifthepolynomialsa{z}^3+4z^2+3z-4and{z}^3-4z+aleavethesameremainderwhendividedbyz-3,findthevalueofa.$

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{p}\left(\mathrm{z}\right)={\mathrm{az}}^3+4{\mathrm{z}}^2+3\mathrm{z}-4 \\ \mathrm{Let}\mathrm{q}\left(\mathrm{z}\right)={\mathrm{z}}^3-4\mathrm{z}+\mathrm{a} \\ \mathrm{Now},\mathrm{when}\mathrm{p}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{is}\mathrm{divided}\mathrm{by}\left(\mathrm{z}-3\right),\mathrm{then}\mathrm{remainder}\mathrm{is}\mathrm{p}\left(3\right). \\ \mathrm{Now},\mathrm{p}\left(3\right)=\mathrm{a}{\left(3\right)}^3+4{\left(3\right)}^2+3\left(3\right)-4 \\ =27\mathrm{a}+36+9-4 \\ =27\mathrm{a}+41 \\ \mathrm{Now},\mathrm{when}\mathrm{q}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{is}\mathrm{divided}\mathrm{by}\left(\mathrm{z}-3\right),\mathrm{then}\mathrm{remainder}\mathrm{is}\mathrm{q}\left(3\right). \\ \mathrm{Now},\mathrm{q}\left(3\right)={\left(3\right)}^3-4\times 3+\mathrm{a}=27-12+\mathrm{a}=15+\mathrm{a} \\ \mathrm{Now},\mathrm{p}\left(3\right)=\mathrm{q}\left(3\right) \\ \Rightarrow 27\mathrm{a}+41=15+\mathrm{a} \\ \Rightarrow 27\mathrm{a}-\mathrm{a}=15-41 \\ \Rightarrow 26\mathrm{a}=-26 \\ \Rightarrow \mathrm{a}=-1 \end{gathered}$$