Question

Solve this:
Q. Find whether the relation R' on the set R of all real numbers defined as R' = {(a, b): a, b $\in$ R and a - b + $\sqrt{3}$ $\in$ S}, where S is the set of all irrational numbers, is reflexive, symmetric and transitive.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{R}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{se}\mathrm{of}\mathrm{real}\mathrm{numbers}. \\ \mathbf{REFLEXIVITY}\mathbf{}\mathbf{:} \\ \mathrm{Let}\mathrm{x}\in \mathrm{R}.\mathrm{Then} \\ \mathrm{x}-\mathrm{x}+\sqrt{3}=\sqrt{3},\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{So},\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{definition}\mathrm{of}\mathrm{relation}\mathrm{R}\text{'},\mathrm{x}\mathrm{R}\text{'}\mathrm{x}\forall \mathrm{x}\in \mathrm{R}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{R}\text{'}\mathrm{is}\mathrm{reflexive}. \\ \mathbf{SYMMETRY}\mathbf{}\mathbf{:} \\ \mathrm{Let}\mathrm{x}=\sqrt{3}\mathrm{and}\mathrm{y}=0 \\ \mathrm{Now},\sqrt{3}-0+\sqrt{3}=2\sqrt{3},\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{So},\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{definition}\mathrm{of}\mathrm{relation}\mathrm{R}\text{'},\mathrm{x}\mathrm{R}\text{'}\mathrm{y}. \\ \mathrm{But}\mathrm{y}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{related}\mathrm{to}\mathrm{x}\mathrm{because} \\ \mathrm{y}-\mathrm{x}+\sqrt{3}=0-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0,\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{R}\text{'}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{Symmetric}. \\ \mathbf{TRANSITIVITY}\mathbf{}\mathbf{:} \\ \mathrm{Let}\mathrm{x}=0;\mathrm{y}=\sqrt{2};\mathrm{z}=\sqrt{3},\mathrm{then} \\ 0-\sqrt{2}+\sqrt{3}=\sqrt{3}-\sqrt{2},\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{So},\mathrm{x}\mathrm{R}\text{'}\mathrm{y} \\ \mathrm{Now},\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}=\sqrt{2},\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{So},\mathrm{y}\mathrm{R}\text{'}\mathrm{z} \\ \mathrm{Now},0-\sqrt{3}+\sqrt{3}=0,\mathrm{which}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{irrational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{So},\mathrm{x}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{related}\mathrm{to}\mathrm{z}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{R}\text{'}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{transitive}. \\ \mathrm{So},\mathrm{R}\text{'}\mathrm{is}\mathrm{neither}\mathrm{symmetric}\mathrm{nor}\mathrm{transitive}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{R}\text{'}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{an}\mathrm{equivalence}\mathrm{relation}\mathrm{on}\mathrm{R}. \end{gathered}$$