Question

Solve this:
Q. | x - 5 | > 2 + p, where p is a constant. For what value of p, will the inequality be true for all the values of x?
a) p = - 5
b) p = 5
c) p = 2
d) p = - 2

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{We}\mathrm{know}\mathrm{that}: \\ \left|\mathrm{x}-\mathrm{a}\right|>\mathrm{r}\Rightarrow \mathrm{x}<\mathrm{a}-\mathrm{r}\mathrm{or}\mathrm{x}>\mathrm{a}+\mathrm{r} \\ \mathrm{So},\left|\mathrm{x}-5\right|>2+\mathrm{p} \\ \Rightarrow \mathrm{x}<5-\left(2+\mathrm{p}\right)\mathrm{or}\mathrm{x}>5+\left(2+\mathrm{p}\right) \\ \Rightarrow \mathrm{x}<5-2-\mathrm{p}\mathrm{or}\mathrm{x}>7+\mathrm{p} \\ \Rightarrow \mathrm{x}<3-\mathrm{p}\mathrm{or}\mathrm{x}>7+\mathrm{p} \\ \mathrm{Now}\mathrm{putting}\mathrm{different}\mathrm{values}\mathrm{of}\mathrm{p}\mathrm{in}\mathrm{above}\mathrm{equation}. \\ \mathrm{p}=-5 \\ \Rightarrow \mathrm{x}<3-\left(-5\right)\mathrm{or}\mathrm{x}>7+\left(-5\right) \\ \Rightarrow \mathrm{x}<8\mathrm{or}\mathrm{x}>2 \\ \Rightarrow \mathrm{x}\in \left(2,8\right) \\ \mathrm{Now}\mathrm{put}\mathrm{p}=5 \\ \Rightarrow \mathrm{x}<3-\left(5\right)\mathrm{or}\mathrm{x}>7+\left(5\right) \\ \Rightarrow \mathrm{x}<-2\mathrm{or}\mathrm{x}>12 \\ \mathrm{This}\mathrm{case}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{possible}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{put}\mathrm{p}=2 \\ \Rightarrow \mathrm{x}<3-\left(2\right)\mathrm{or}\mathrm{x}>7+\left(2\right) \\ \Rightarrow \mathrm{x}<1\mathrm{or}\mathrm{x}>9 \\ \mathrm{This}\mathrm{case}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{possible}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{put}\mathrm{p}=-2 \\ \Rightarrow \mathrm{x}<3-\left(-2\right)\mathrm{or}\mathrm{x}>7+\left(-2\right) \\ \Rightarrow \mathrm{x}<5\mathrm{or}\mathrm{x}>5 \\ \mathrm{This}\mathrm{case}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{possible}. \\ \mathrm{So},\mathrm{p}=-5 \end{gathered}$$
Regards