Question

solve

Q14. A , B and C throw a die alternately till one of them gets a '6' and wins the game. Find their respective probability of wining. If A starts the game.

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{E}\hspace{0.17em}\mathrm{be}\mathrm{the}\mathrm{event}\mathrm{of}\mathrm{getting}\mathrm{a}\mathrm{six}\mathrm{in}\mathrm{a}\mathrm{single}\mathrm{throw}\mathrm{of}\mathrm{an}\mathrm{unbiased}\mathrm{die}.\mathrm{Then}, \\ \mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)=\frac{1}{6}\mathrm{and}\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6} \\ \mathrm{A}\mathrm{wins}\mathrm{if}\mathrm{he}\mathrm{gets}\mathrm{a}\mathrm{six}\mathrm{in}1\mathrm{st}\mathrm{or}4\mathrm{th}\mathrm{or}7\mathrm{th}...\mathrm{throw}.\mathrm{His}\mathrm{probability}\mathrm{of}\mathrm{getting}\mathrm{a}\text{'}\mathrm{six}\text{'}\mathrm{in} \\ \mathrm{first}\mathrm{throw}=\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right)=\frac{1}{6} \\ \mathrm{A}\mathrm{will}\mathrm{get}\mathrm{fourth}\mathrm{throw}\mathrm{if}\mathrm{he}\mathrm{fails}\mathrm{in}\mathrm{first},\mathrm{B}\mathrm{fails}\mathrm{in}\mathrm{second}\mathrm{and}\mathrm{C}\mathrm{fails}\mathrm{in}\mathrm{third}\mathrm{throw}. \\ \mathrm{So},\mathrm{Probability}\mathrm{of}\mathrm{winning}\mathrm{of}\mathrm{A}\mathrm{in}\mathrm{fourth}\mathrm{throw} \\ =\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \overline{\mathrm{E}}\cap \mathrm{E}\right) \\ =\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\overline{\mathrm{E}}\right)\mathrm{P}\left(\mathrm{E}\right) \\ ={\left(\frac{5}{6}\right)}^3\times \frac{1}{6} \\ \mathrm{Similarly},\mathrm{the}\mathrm{probability}\mathrm{of}\mathrm{winning}\mathrm{of}\mathrm{A}\mathrm{in}7\mathrm{th}\mathrm{throw} \\ ={\left(\frac{5}{6}\right)}^6\times \frac{1}{6}\mathrm{and}\mathrm{so}\mathrm{on}... \\ \mathrm{Hence}\mathrm{probability}\mathrm{of}\mathrm{winning}\mathrm{of}\mathrm{A} \\ =\frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^3\times \frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^6\times \frac{1}{6}+... \\ =\frac{{\displaystyle \frac{1}{6}}}{1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3}\left[\mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{infinte}\mathrm{G}.\mathrm{P}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}}\mathrm{and}\mathrm{here}\mathrm{a}=\frac{1}{6}\mathrm{and}\mathrm{r}={\left(\frac{5}{6}\right)}^3\right] \\ =\frac{36}{91} \\ \mathrm{B}\mathrm{wins}\mathrm{if}\mathrm{he}\mathrm{gets}\text{'}\mathrm{six}\text{'}\mathrm{in}2\mathrm{nd}\mathrm{or}5\mathrm{th}\mathrm{or}8\mathrm{th}\mathrm{or}...\mathrm{throw} \\ \mathrm{So},\mathrm{probability}\mathrm{of}\mathrm{winning}\mathrm{of}\mathrm{B}=\frac{5}{6}\times \frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^4\times \frac{1}{6}+{\left(\frac{5}{6}\right)}^7\times \frac{1}{6} \\ =\frac{{\displaystyle \frac{5}{6}}\times {\displaystyle \frac{1}{6}}}{1-{\left({\displaystyle \frac{5}{6}}\right)}^3}\left[\mathrm{Sum}\mathrm{of}\mathrm{infinte}\mathrm{G}.\mathrm{P}=\frac{\mathrm{a}}{1-\mathrm{r}}\mathrm{and}\mathrm{here}\mathrm{a}=\frac{5}{6}\times \frac{1}{6}\mathrm{and}\mathrm{r}={\left(\frac{5}{6}\right)}^3\right] \\ =\frac{30}{91} \\ \mathrm{Hence}\mathrm{probability}\mathrm{of}\mathrm{winning}\mathrm{of}\mathrm{C}=1-\left(\frac{36}{91}+\frac{30}{91}\right)=\frac{25}{91} \end{gathered}$$
Regards