Question

Solve this :

$Illustration2:If\alpha isarootoftheequationa{x}^2+bx+c=0and\beta isarootoftheequation-a{x}^2+bx+c=0,thenprovethattherewillbearootoftheequation\frac{a}{2}{x}^2+bx+c=0lyingbetween\alpha and\beta .$

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Hi}, \\ \mathrm{Since}\mathrm{\alpha }\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{root}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{equation}{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 \\ \mathrm{then}{\mathrm{a\alpha }}^2+\mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}=0.....\left(1\right) \\ \mathrm{and}\mathrm{\beta }\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{root}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{equation}-{\mathrm{ax}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=0 \\ \mathrm{then}-{\mathrm{a\beta }}^2+\mathrm{b\beta }+\mathrm{c}=0 \\ {\mathrm{a\beta }}^2-\mathrm{b\beta }-\mathrm{c}=0.....\left(2\right) \\ \mathrm{Now}\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{2}{\mathrm{x}}^2+\mathrm{bx}+\mathrm{c}=\frac{{\mathrm{ax}}^2+2\mathrm{bx}+2\mathrm{c}}{2} \\ \mathrm{f}\left(\mathrm{\alpha }\right)=\frac{{\mathrm{a\alpha }}^2+2\mathrm{b\alpha }+2\mathrm{c}}{2}=\frac{{\mathrm{a\alpha }}^2+2\left(\mathrm{b\alpha }+\mathrm{c}\right)}{2}=\frac{{\mathrm{a\alpha }}^2+2\left(-{\mathrm{a\alpha }}^2\right)}{2}\left[\mathrm{using}\mathrm{equation}1\right] \\ =-\frac{{\mathrm{a\alpha }}^2}{2} \\ \mathrm{and}\mathrm{f}\left(\mathrm{\beta }\right)=\frac{{\mathrm{a\beta }}^2+2\mathrm{b\beta }+2\mathrm{c}}{2}=\frac{{\mathrm{a\beta }}^2+2\left(\mathrm{b\beta }+\mathrm{c}\right)}{2}=\frac{{\mathrm{a\beta }}^2+2\left({\mathrm{a\beta }}^2\right)}{2}\left[\mathrm{using}\mathrm{equation}2\right] \\ =\frac{3{\mathrm{a\beta }}^2}{2} \\ \mathrm{Since}\mathrm{f}\left(\mathrm{\alpha }\right)\mathrm{and}\mathrm{f}\left(\mathrm{\beta }\right)\mathrm{are}\mathrm{of}\mathrm{opposite}\mathrm{sign}\mathrm{so}\mathrm{there}\mathrm{will}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{root}\mathrm{lying}\mathrm{between}\mathrm{\alpha }\mathrm{and}\mathrm{\beta } \end{gathered}$$