Question

find dimensions of the poster

18. ​A sheet of paper for a poster is 150 cm² in area, whith margins of 1.5 cm each at the top and bottom and 1 cm each on both sides. What should the dimensions of the sheet be so that the printed area will be maximum ?

Answer 1

Dear student
$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sheet}=\mathrm{x}\mathrm{cm} \\ \mathrm{Let}\mathrm{the}\mathrm{breadth}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sheet}=\mathrm{y}\mathrm{cm} \\ \mathrm{Now},\mathrm{area}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sheet}=150{\mathrm{cm}}^2 \\ \Rightarrow \mathrm{xy}=150 \\ \Rightarrow \mathrm{y}=\frac{150}{\mathrm{x}}....\left(1\right) \\ \mathrm{Now},\mathrm{Length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{printed}\mathrm{portion}=(\mathrm{x}-3)\mathrm{cm} \\ \mathrm{Breadth}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{printed}\mathrm{portion}=(\mathrm{y}-2)\mathrm{cm} \\ \mathrm{Now},\mathrm{Area}\mathrm{of}\mathrm{printed}\mathrm{portion}=(\mathrm{x}-3)(\mathrm{y}-2) \\ \mathrm{A}=\mathrm{xy}-2\mathrm{x}-3\mathrm{y}+6 \\ \Rightarrow \mathrm{A}=150-2\mathrm{x}-3\times \frac{150}{\mathrm{x}}+6[\mathrm{using}1] \\ \Rightarrow \mathrm{A}=156-2\mathrm{x}-\frac{450}{\mathrm{x}} \\ \Rightarrow \frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}}=0-2+\frac{450}{{\mathrm{x}}^2} \\ \mathrm{For}\mathrm{maxima}\mathrm{or}\mathrm{minima}, \\ \frac{\mathrm{dA}}{\mathrm{dx}}=0 \\ \Rightarrow -2+\frac{450}{{\mathrm{x}}^2}=0 \\ \Rightarrow -2{\mathrm{x}}^2+450=0 \\ \Rightarrow 2{\mathrm{x}}^2=450 \\ \Rightarrow {\mathrm{x}}^2=225 \\ \Rightarrow \mathrm{x}=15 \\ \mathrm{Now},\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{A}}{{\mathrm{dx}}^2}=-\frac{900}{{\mathrm{x}}^3} \\ \Rightarrow {\left(\frac{{\mathrm{d}}^2\mathrm{A}}{{\mathrm{dx}}^2}\right)}_{\mathrm{x}=15}=-\frac{900}{{15}^3}=-\frac{4}{15}<0 \\ \mathrm{So},\mathrm{printed}\mathrm{area}\mathrm{is}\mathrm{maximum}\mathrm{at}\mathrm{x}=15 \\ \mathrm{Now},\mathrm{from}\left(1\right),\mathrm{y}=\frac{150}{\mathrm{x}}=\frac{150}{15}=10 \\ \mathrm{So},\mathrm{Length}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sheet}=15\mathrm{cm} \\ \mathrm{Breadth}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{sheet}=10\mathrm{cm} \end{gathered}$$
Regards