Question

Solve


$\int \frac{x^3-x+2e^x}{{\left(x^2+1\right)}^2}dx$

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{Let}\mathrm{I}=\int \frac{{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\left({\mathrm{x}}^3-\mathrm{x}+2\right)}{{\left({\mathrm{x}}^2+1\right)}^2}\mathrm{dx} \\ =\int \left(\frac{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{x}}^2+1}-\frac{2\mathrm{x}\left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}{{\left({\mathrm{x}}^2+1\right)}^2}\right)\mathrm{dx} \\ =\int \frac{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{dx}-2\int \frac{\mathrm{x}\left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}{{\left({\mathrm{x}}^2+1\right)}^2}\mathrm{dx} \\ \mathrm{For}\mathrm{the}\mathrm{integral}\int \frac{\mathrm{x}\left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}{{\left({\mathrm{x}}^2+1\right)}^2}\mathrm{dx}\mathrm{integrate}\mathrm{by}\mathrm{parts}\mathrm{within}\mathrm{the}\mathrm{sum}:\int \mathrm{fg}\text{'}=\mathrm{fg}-\int \mathrm{f}\text{'}\mathrm{g} \\ \mathrm{f}={\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}},\mathrm{g}\text{'}=\frac{\mathrm{x}}{{\left({\mathrm{x}}^2+1\right)}^2} \\ \mathrm{f}\text{'}={\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}},\mathrm{g}=-\frac{1}{2\left({\mathrm{x}}^2+1\right)} \\ \mathrm{So},\mathrm{I}=2\int -\frac{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{2\left({\mathrm{x}}^2+1\right)}\mathrm{dx}+\int \frac{{\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+2{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}}{{\mathrm{x}}^2+1}\mathrm{dx}+\frac{2\left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}{2\left({\mathrm{x}}^2+1\right)} \\ =\frac{\left({\mathrm{xe}}^{\mathrm{x}}+{\mathrm{e}}^{\mathrm{x}}\right)}{\left({\mathrm{x}}^2+1\right)} \end{gathered}$$