Question

$\mathrm{Spherical}\mathrm{rain}\mathrm{drop}\mathrm{evaporates}\mathrm{at}a\mathrm{rate}\mathrm{proportional}\mathrm{to}\mathrm{its}\mathrm{surface}\mathrm{area}.\mathrm{The}\mathrm{differential}\mathrm{equation}\mathrm{corresponding}\mathrm{to}\mathrm{the}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{change}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{rain}\mathrm{drop}\mathrm{if}\mathrm{the}\mathrm{constant}\mathrm{of}\mathrm{proportionality}\mathrm{is}K>0\mathrm{is}$
.

• A. $\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}+K=0$
• B. $\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}-K=0$
• C. $\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}+\mathrm{Kr}=0$
• D. $\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}-\mathrm{Kr}=0$

Answer 1

The correct option is A $\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}+K=0$

$\mathrm{The}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{evaporation}\mathrm{is}\mathrm{measured}\mathrm{by}\mathrm{the}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{change}\mathrm{of}\mathrm{volume}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{spherical}\mathrm{droplet}.\mathrm{So}\mathrm{if}\mathrm{at}\mathrm{an}\mathrm{instant}\mathrm{of}\mathrm{time}\mathrm{the}\mathrm{radius}\mathrm{is}r\mathrm{Surface}\mathrm{area}=4{\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{The}\mathrm{rate}\mathrm{of}\mathrm{evaporation}=\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}\mathrm{where}V=\mathrm{Volume}\mathrm{of}\mathrm{the}\mathrm{droplet}\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}\propto 4{\mathrm{\pi r}}^2\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}=-K\left(4{\mathrm{\pi r}}^2\right)\mathrm{Here}\mathrm{the}\mathrm{minus}\mathrm{sign}\mathrm{is}\mathrm{there}\mathrm{because}\mathrm{the}\mathrm{the}\mathrm{volume}\mathrm{is}\mathrm{decreasing}.V\left(\mathrm{Volume}\mathrm{of}\mathrm{sphere}\right)=\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3\frac{\mathrm{dV}}{\mathrm{dt}}=\frac{d}{\mathrm{dt}}\left(\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3\right)=\frac{4}{3}\pi \times 3r^2\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=4{\mathrm{\pi r}}^2\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}\mathrm{So},4{\mathrm{\pi r}}^2\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}=-K\left(4{\mathrm{\pi r}}^2\right)\frac{\mathrm{dr}}{\mathrm{dt}}+K=0$