Question

State the whether given statement is true or false

In triangle $ABC,$ ${\cos }^2\frac{A}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{C}{2}=2\cos \frac{A}{2}\cos \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}$.

• A. True
• B. False

Answer 1

The correct option is B False

$A+B+C=\pi \Rightarrow \frac{A}{2}+\frac{B}{2}+\frac{C}{2}=\frac{\pi }{2}$
Now ${\cos }^2\frac{A}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{C}{2}$
$=\frac{\cos A-1}{2}+\frac{\cos B-1}{2}+\frac{\cos C-1}{2}$
$=\frac{1}{2}(\cos A+\cos B+\cos C-3)$
$=\frac{1}{2}\left(2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)+\cos (\pi -(A+B)-3)\right)$
$=\frac{1}{2}\left(2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos (A+B)-3\right)$
$=\frac{1}{2}\left(2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-2{\cos }^2\left(\frac{A+B}{2}\right)-2\right)$
$=\frac{1}{2}\left(2\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\left(\cos \left(\frac{A-B}{2}\right)-\cos \left(\frac{A+B}{2}\right)\right)-2\right)$
$=\cos (\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2})\left(2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\right)-1$
$=2\sin \frac{A}{2}\sin \frac{B}{2}\sin \frac{C}{2}-1$