Question

State true or false.

In any $\Delta$ABC, is the sum of ${\cos }^2\frac{A}{2}+{\cos }^2\frac{B}{2}+{\cos }^2\frac{C}{2}=2+\frac{r}{2R}$?

• A. True
• B. False

Answer 1

The correct option is A True

Given ${cos}^2\frac{A}{2}+{cos}^2\frac{B}{2}+{cos}^2\frac{C}{2}$

$=\left(\frac{1+cosA}{2}\right)+\left(\frac{1+cosB}{2}\right)+\left(\frac{1+cosC}{2}\right)$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}(cosA+cosB+cosC)$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[2cos\left(\frac{A+B}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right)+cosC]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[2cos\left(\frac{\pi -C}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right)+1-2{sin}^2\frac{C}{2}]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[1+2cos(\frac{\pi }{2}-\frac{C}{2})cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-2{sin}^2\frac{C}{2}]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[1+2sin\left(\frac{C}{2}\right)cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-2{sin}^2\frac{C}{2}]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[1+2sin\left(\frac{C}{2}\right)(cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-sin\frac{C}{2})]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[1+2sin\left(\frac{C}{2}\right)(cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-sin\frac{\pi -(A+B)}{2})]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[1+2sin\left(\frac{C}{2}\right)(cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-sin(\frac{\pi }{2}-\frac{(A+B)}{2}))]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[1+2sin\left(\frac{C}{2}\right)(cos\left(\frac{A-B}{2}\right)-cos\left(\frac{A+B}{2}\right))]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[1+2sin\left(\frac{C}{2}\right)(cos(\frac{A}{2}-\frac{B}{2})-cos(\frac{A}{2}+\frac{B}{2}))]$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[1+2sin\left(\frac{C}{2}\right)\left(2sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}\right)]$

$(\because cos(A-B)-cos(A+B)=2sinAsinB)$

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}[1+4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}]$

But $4sin\frac{A}{2}sin\frac{B}{2}sin\frac{C}{2}=\frac{r}{R}$

Thus, given expression becomes,

$=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}+\frac{r}{2R}$

$=2+\frac{r}{2R}$