Question

State which of the following are surds:

(i) $\sqrt{17}$

(ii) $\sqrt{-4}$

(iii) $\sqrt{\sqrt[3]{27}}$

(iv) $\sqrt[2]{64}$

(v) $\frac{1}{\sqrt[3]{4}}$

(vi) $\sqrt{0.303003003.....}$

(vii) $\sqrt{\frac{13}{5}}$

(viii) $-\frac{2}{3}\sqrt{25}$

(ix) ${\left(\sqrt[3]{5}\right)}^3$

(x) $\sqrt{3+3\sqrt{2}}$

Answer 1

$\sqrt[n]{a}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}\mathrm{if}\text{'}n\text{'}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\left(n\ne 1\right)\mathrm{and}\text{'}a\text{'}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}.$

(i) $$\begin{gathered} \sqrt[]{17}:\text{H}\mathrm{ere},2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}17\mathrm{is}\text{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(ii) $$\begin{gathered} \sqrt[]{-4}:\text{H}\mathrm{ere},2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{but}-4\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(iii)

$$\begin{gathered} \sqrt[]{\sqrt[3]{27}}=\sqrt[]{\sqrt[3]{{\left(3\right)}^3}}=\sqrt{3} \\ \sqrt{3}:\text{H}\mathrm{ere},2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}3\mathrm{is}\text{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(iv)
$$\begin{gathered} \sqrt[]{64}=\sqrt{{\left(8\right)}^2}=8 \\ \text{H}\mathrm{ere},n=1 \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(v)

$$\begin{gathered} \frac{1}{\sqrt[3]{4}}=\sqrt[3]{\frac{1}{4}} \\ \text{H}\mathrm{ere},3\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}\frac{1}{4}\mathrm{is}a\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(vi)

$$\begin{gathered} \mathrm{We}\mathrm{have} \\ 0.303003003....=0.30\overline{300} \\ \mathrm{i}.\mathrm{e}.0.303003003....\mathrm{is}\mathrm{non}-\mathrm{terminating}\mathrm{and}\mathrm{repeating}. \\ \therefore 0.303003003....\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \sqrt{0.303003003.....}:\text{H}\mathrm{ere},2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}0.303003003....\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(vii)

$$\begin{gathered} \sqrt{\frac{13}{5}}:\text{H}\mathrm{ere},2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{and}\frac{13}{5}\mathrm{is}\text{a}\mathrm{positive}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(viii)

$$\begin{gathered} \frac{-2}{3}\sqrt{25}=\frac{-2}{3}\times \sqrt{{\left(5\right)}^2}=\frac{-10}{3} \\ H\mathrm{ere},\mathrm{n}=1. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(ix)

$$\begin{gathered} {\left(\sqrt[3]{5}\right)}^3=5 \\ \text{H}\mathrm{ere},\mathrm{n}=1. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$

(x)

$$\begin{gathered} \sqrt{3+3\sqrt{2}} \\ \sqrt{3+3\sqrt{2}}:\text{H}\mathrm{ere},2\mathrm{is}\mathrm{a}\mathrm{natural}\mathrm{number}\mathrm{but}3+3\sqrt{2}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{rational}\mathrm{number}. \\ \mathrm{Hence},\mathrm{it}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{surd}. \end{gathered}$$