Question

Sum $:\frac{3}{1^2{.2}^2}+\frac{5}{2^2{.3}^2}+\frac{7}{3^2{.4}^2}+...$ to $n$ terms

Answer 1

$S=\frac{1}{1^2\cdot 2^2}+\frac{5}{2^2\cdot 3^2}+\frac{7}{3^2\cdot 4^2}+.....upton$

$S=\frac{2^2-1^2}{1^2\cdot 2^2}+\frac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}+\frac{4^2-3^2}{3^2\cdot 4^2}+.....upton$

$S=\frac{2^2-1^2}{1^2\cdot 2^2}+\frac{3^2-2^2}{2^2\cdot 3^2}+\frac{4^2-3^2}{3^2\cdot 4^2}+.....upton$

$S=\frac{2^2}{1^2\cdot 2^2}-\frac{1^2}{1^2\cdot 2^2}+\frac{3^2}{2^2\cdot 3^2}-\frac{2^2}{2^2\cdot 3^2}+\frac{4^2}{3^2\cdot 4^2}-\frac{3^2}{3^2\cdot 4^2}+.....upton$

$S=1-\frac{1^2}{2^2}+\frac{1^2}{2^2}-\frac{1^2}{3^2}+\frac{1^2}{3^2}-\frac{1^2}{4^2}+.....upton$

$S=1.$