Question

Sum of all odd numbers from 1 to 400

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{odd}\mathrm{numbers}\mathrm{from}1\mathrm{to}400\mathrm{are}: \\ 1,3,5,7,9,.........,399. \\ \mathrm{The}\mathrm{above}\mathrm{sequence}\mathrm{is}\mathrm{in}\mathrm{Arithmetic}\mathrm{progression}. \\ \mathrm{Now},\mathrm{first}\mathrm{term},\mathrm{a}=1 \\ \mathrm{Common}\mathrm{difference},\mathrm{d}=3-1=2 \\ \mathrm{Let}{\mathrm{a}}_{\mathrm{n}}=399 \\ \Rightarrow \mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}=399 \\ \Rightarrow 1+\left(\mathrm{n}-1\right)\left(2\right)=399 \\ \Rightarrow 2\left(\mathrm{n}-1\right)=398 \\ \Rightarrow \mathrm{n}-1=199 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=200 \\ \mathrm{Now},\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{first}\mathrm{n}\mathrm{terms}\mathrm{of}\mathrm{AP}\mathrm{is}\mathrm{given}\mathrm{by}, \\ {\mathrm{S}}_{\mathrm{n}}=\frac{\mathrm{n}}{2}\left[2\mathrm{a}+\left(\mathrm{n}-1\right)\mathrm{d}\right] \\ \mathrm{So},{\mathrm{S}}_{200}=\frac{200}{2}\left[2\times 1+\left(200-1\right)\left(2\right)\right] \\ =100\left(2+199\times 2\right) \\ =100\left(2+398\right) \\ =100\times 400 \\ =40000 \end{gathered}$$