Question

Sum of all the seats in a theatre is in the form3n²÷2 + 125n÷2. If there are 2500 seats in that theatre, find the number of rows and number of seats in the last row.

Answer 1

$$\begin{gathered} \mathrm{The}\mathrm{sum}\mathrm{of}\mathrm{all}\mathrm{seats}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{theatre}\mathrm{when}\mathrm{there}\mathrm{are}\mathrm{n}\mathrm{rows}\mathrm{is} \\ \frac{3{\mathrm{n}}^2}{2}+\frac{125\mathrm{n}}{2} \\ \mathrm{As},\mathrm{there}\mathrm{are}2500\mathrm{seats}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{theatre},\mathrm{therefore} \\ \frac{3{\mathrm{n}}^2}{2}+\frac{125\mathrm{n}}{2}=2500 \\ \Rightarrow 3{\mathrm{n}}^2+125\mathrm{n}=5000 \\ \Rightarrow 3{\mathrm{n}}^2+125\mathrm{n}-5000=0 \\ \Rightarrow 3{\mathrm{n}}^2+200\mathrm{n}-75\mathrm{n}-5000=0 \\ \Rightarrow \mathrm{n}\left(3\mathrm{n}+200\right)-25\left(3\mathrm{n}+200\right)=0 \\ \Rightarrow \left(\mathrm{n}-25\right)\left(3\mathrm{n}+200\right)=0 \\ \Rightarrow \mathrm{n}=25,-\frac{200}{3} \\ \mathrm{Hence},\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{rows}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{theatre}\mathrm{is}25 \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} \mathrm{Now}\mathrm{the}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{seats}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{last}\mathrm{row},\mathrm{i}.\mathrm{e}.\mathrm{in}\mathrm{row}25\mathrm{is}\mathrm{equal}\mathrm{to}\mathrm{the}(\mathrm{Total}\mathrm{number}\mathrm{of} \\ \mathrm{seats}\mathrm{in}\mathrm{the}25\mathrm{rows}-\mathrm{Total}\mathrm{number}\mathrm{of}\mathrm{seats}\mathrm{in}\mathrm{the}24\mathrm{rows}) \\ =\frac{1}{2}\left[3{\left(25\right)}^2+125\left(25\right)\right]-\frac{1}{2}\left[3{\left(24\right)}^2+125\left(24\right)\right] \\ =2500-2364=136. \\ \mathrm{Therefore},\mathrm{there}\mathrm{are}136\mathrm{seats}\mathrm{in}\mathrm{the}\mathrm{last}\mathrm{row}. \end{gathered}$$