Question

Evaluate ${\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{1+\mathrm{ab}}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{1+\mathrm{bc}}\right)$:

• A. ${\tan }^{-1}\mathrm{a}-{\tan }^{-1}\mathrm{b}$
• B. ${\tan }^{-1}\mathrm{a}-{\tan }^{-1}\mathrm{c}$
• C. ${\tan }^{-1}\mathrm{b}-{\tan }^{-1}\mathrm{c}$
• D. ${\tan }^{-1}\mathrm{c}-{\tan }^{-1}\mathrm{a}$

Answer 1

The correct option is B

${\tan }^{-1}\mathrm{a}-{\tan }^{-1}\mathrm{c}$

Explanation for correct option

Simplifying the given trigonometric expression:

Given expression is: ${\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{1+\mathrm{ab}}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{1+\mathrm{bc}}\right)$

Let,

$\mathrm{y}={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{1+\mathrm{ab}}\right)+{\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{b}-\mathrm{c}}{1+\mathrm{bc}}\right)...\left(1\right)$

We know that:

${\tan }^{-1}\mathrm{a}-{\tan }^{-1}\mathrm{b}={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{a}-\mathrm{b}}{1+\mathrm{ab}}\right)...\left(2\right)$

So, applying equation $\left(2\right)$ in equation $\left(1\right)$ we get:

$\mathrm{y}=\left({\tan }^{-1}\mathrm{a}-{\tan }^{-1}\mathrm{b}\right)+\left({\tan }^{-1}\mathrm{b}-{\tan }^{-1}\mathrm{c}\right)$

$={\tan }^{-1}\mathrm{a}-{\tan }^{-1}\mathrm{b}+{\tan }^{-1}\mathrm{b}-{\tan }^{-1}\mathrm{c}$

$={\tan }^{-1}\mathrm{a}-{\tan }^{-1}\mathrm{c}$

Therefore, the expression reduces to ${\tan }^{-1}\mathrm{a}-{\tan }^{-1}\mathrm{c}$.

Hence, the correct answer is Option (B).